اثبات فرمول فاصله نقطه از خط

1-

https://www.google.com/search?q=%D8%A7%D8%AB%D8%A8%D8%A7%D8%AA+%D9%81%D8%B1%D9%85%D9%88%D9%84+%D9%81%D8%A7%D8%B5%D9%84%D9%87+%D9%86%D9%82%D8%B7%D9%87+%D8%A7%D8%B2+%D8%AE%D8%B7&ie=utf-8&oe=utf-8&client=firefox-b

2-

https://math.irancircle.com/2860/%D8%A7%D8%AB%D8%A8%D8%A7%D8%AA-%D9%81%D8%B1%D9%85%D9%88%D9%84-%D9%81%D8%A7%D8%B5%D9%84%D9%87-%DB%8C-%D9%86%D9%82%D8%B7%D9%87-%D8%A7%D8%B2-%D8%AE%D8%B7

فرض کنید خط L" role="presentation">L به معادله ax+by+c=0" role="presentation">ax+by+c=0 را داشته باشیم ( a,b≠0" role="presentation">a,b≠0 ) و بخواهیم فاصله ی A(x0,y0)" role="presentation">A(x0,y0) از خط L" role="presentation">L یعنی طول پاره خط AB" role="presentation">ABرا بیابیم. توجه کنید که AB" role="presentation">AB برخطL" role="presentation">L

عمود است.

شیب خط L" role="presentation">L

برابر است با m=−ab" role="presentation">m=−ab و چون خط AB" role="presentation">AB بر خط L" role="presentation">L عمود است پس شیب خط AB" role="presentation">AB برابر است با m′=−1m=ba" role="presentation">m′=−1m=ba . اما شیب خط AB" role="presentation">AB را اگر با استفاده از مختصات نقاط A,B" role="presentation">A,B بیابیم داریم: m′=y0−ybx0−xb" role="presentation">m′=y0−ybx0−xb . پس باید y0−ybx0−xb=ba" role="presentation">y0−ybx0−xb=ba و لذا a(y0−yb)−b(x0−xb)=0" role="presentation">a(y0−yb)−b(x0−xb)=0

. اگر طرفین این تساوی را به توان دو برسانیم داریم:

(*)a2(y0−yb)2+b2(x0−xb)2=2ab(x0−xb)(y0−yb)" role="presentation">a2(y0−yb)2+b2(x0−xb)2=2ab(x0−xb)(y0−yb)(*)

. حال داریم:

(a2+b2)((x0−xb)2+(y0−yb)2)=a2(x0−xb)2+a2(y0−yb)2+b2(x0−xb)2+b2(y0−yb)2=(∗)a2(x0−xb)2+2ab(x0−xb)(y0−yb)+b2(y0−yb)2=(a(x0−xb)+b(y0−yb))2" role="presentation">(a2+b2)((x0−xb)2+(y0−yb)2)=a2(x0−xb)2+a2(y0−yb)2+b2(x0−xb)2+b2(y0−yb)2=(∗)a2(x0−xb)2+2ab(x0−xb)(y0−yb)+b2(y0−yb)2=(a(x0−xb)+b(y0−yb))2

و لذا داریم:

(x0−xb)2+(y0−yb)2=(a(x0−xb)+b(y0−yb))2a2+b2" role="presentation">(x0−xb)2+(y0−yb)2=(a(x0−xb)+b(y0−yb))2a2+b2

اگر از طرفین جذر بگیریم داریم:

|AB|=(x0−xb)2+(y0−yb)2=|ax0+by0−(axb+byb)|a2+b2" role="presentation">|AB|=(x0−xb)2+(y0−yb)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=|ax0+by0−(axb+byb)|a2+b2−−−−−−√

اما توجه کنید که B(xb,yb)" role="presentation">B(xb,yb) در معادله خط ax+by+c=0" role="presentation">ax+by+c=0 صدق می کند لذا axb+byb=−c" role="presentation">axb+byb=−c

بنابراین تساوی قبل به صورت زیر در می آید:

|AB|=|ax0+by0+c|a2+b2" role="presentation">|AB|=|ax0+by0+c|a2+b2−−−−−−√

برای اثبات های بیشتر به اینجا نگاه کنید.

دارای دیدگاه اردیبهشت ۱۵, ۱۳۹۴ توسط asal4567

+1

@fardina
ممنون بایت پاسخ..
چرا باید خطAB" role="presentation">AB

بر خط L" role="presentation">L

عمود باشد؟

دارای دیدگاه اردیبهشت ۱۵, ۱۳۹۴ توسط fardina

+1

@asal4567
چون تعریف فاصله نقطه از خط یعنی کوتاهترین فاصله نقطه از خط. و کوتاهترین فاصله نقطه از خط میشه پاره خط عمود بر آن خط.(چرا؟!)
چون اگه AB" role="presentation">AB

عمود نباشد در اینصورت از A" role="presentation">A بر خط عمود میکنیم که AH" role="presentation">AH ساخته بشه. در اینصورت در مثلث قایم الزاویه ABH" role="presentation">ABH ضلع AB" role="presentation">AB وتر است و لذا طبق قضیه فیثاغورث AB" role="presentation">AB از AH" role="presentation">AH

بزرگتر است و با تعریف کوتاهترین فاصله در تناقض می شود.

دارای دیدگاه تیر ۱, ۱۳۹۸ توسط Fa992

خیلی ممنون، عالی بود⚘

+2 امتیاز

پاسخ داده شده اردیبهشت ۱۵, ۱۳۹۴ توسط fardina

یک روش دیگر با استفاده از هندسه تحلیلی پیش دانشگاهی:

در کتاب هندسه تحلیلی پیش دانشگاهی ثابت می شود که فاصله ی نقطه P" role="presentation">P

از خط L" role="presentation">L با بردار هادی u" role="presentation">u برابر است با |u×P0P→||u|" role="presentation">|u×P0P−→−||u| که در آن P0" role="presentation">P0 یک نقطه دلخواه از خط L" role="presentation">L

است.

حال اگر خط به معادله L:ax+by+c=0" role="presentation">L:ax+by+c=0

را در نظر بگیریم در اینصورت فاصله نقطه P(x0,y0)" role="presentation">P(x0,y0) از خط L" role="presentation">L با استفاده از فرمول فوق به دست می آوریم. بردار هادی را با استفاده از نقاطی که خط محور طولها و عرضها را قطع کرده به دست می آوریم برابر است با u=(−ca,cb)" role="presentation">u=(−ca,cb) و نقطه ی دلخواه P0" role="presentation">P0 را نقطه ای میگیریم که خط محور طولها را قطع کرده است P0=(−ca,0)" role="presentation">P0=(−ca,0) . لذا P0P=(x0+ca,y0)" role="presentation">P0P=(x0+ca,y0) . با استفاده از ضرب خارجی داریم:

u×P0P=0i+0j+(−cay0−cbx0−c2ab)k" role="presentation">u×P0P=0i+0j+(−cay0−cbx0−c2ab)k

.

و داریم:

d=|u×P0P||u|=|cab(ax0+by0+c)|c2a2+c2b2=|ax0+by0+c|a2+b2" role="presentation">d=|u×P0P||u|=|cab(ax0+by0+c)|c2a2+c2b2−−−−−−√=|ax0+by0+c|a2+b2−−−−−−√

لطفا برای گسترش و ادامه فعالیت محفل ریاضی از آن حمایت کنید:

حمایت مالی

---

 کانال تلگرام محفل ریاضی

امروز : ۲۵ بهمن ۱۳۹۸

سوالات مشابه

• فرمول فاصله یک نقطه از یک منحنی (سهمی و ...) چگونه است؟
• مختصات دو نقطه از دو خط را که کوتاه ترین فاصله را از هم دارند
• مشکل در اثبات فرمول حجم استوانه
• اثبات فرمول فاصله نقطه از صفحه
• آیا ممکن است پنج نقطه را بر صفحه ( بر یک خط راست قرار نگیرند ) طوری بگذاریم که فاصله بین هر دو نقطه عددی صحیح باشد؟

   

هنگامی که در مورد موضوعات عالی می نویسی، به گونه ای متعالی واضح باشد. دکارت(1596-1650)